有 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$，其中 $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ 是 $n\times n$ 矩阵且非奇异（行列式非零），$\boldsymbol{b}=(b_1, b_2, \cdots, b_n)^T$ 是列向量，求列向量 $\boldsymbol{x}=(x_1, x_2, \cdots, x_n)^T$。
将 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 转化为 $\boldsymbol{G}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{d}$，其中 $\boldsymbol{G}$ 为简单矩阵（上 / 下三角、对角等），就能很轻松地解出 $\boldsymbol{x}$。
原方程组：
$$ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_{n}&=b_2 \\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+\cdots+a_{3n}x_{n}&=b_3 \\ &\vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_{n}&=b_n \\ \end{aligned}\right. $$
假设 $a_{11}\neq 0$，否则将首个非零元上移到顶。用 $a_{11}x_1$ 去消 $a_{21}x_1, a_{31}x_1,\cdots,a_{n1}x_1$，得到：
$$ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1 \\ a_{22}^{(1)}x_2+\cdots+a_{2n}^{(1)}x_{n}&=b_2^{(1)} \\ a_{32}^{(1)}x_2+\cdots+a_{3n}^{(1)}x_{n}&=b_3^{(1)} \\ &\vdots \\ a_{n2}^{(1)}x_2+\cdots+a_{nn}^{(1)}x_{n}&=b_n^{(1)} \\ \end{aligned}\right. $$
其中 $a_{ij}^{(1)}=a_{ij}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{1j}$。
假设 $a_{22}^{(1)}\neq0$，否则将首个非零元上移到顶。用 $a_{22}^{(1)}x_2$ 去消 $a_{32}^{(1)}x_2, a_{42}^{(1)}x_2,\cdots,a_{n2}^{(1)}x_2$，得到：
$$ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1 \\ a_{22}^{(1)}x_2+\cdots+a_{2n}^{(1)}x_{n}&=b_2^{(1)} \\ \cdots+a_{3n}^{(2)}x_{n}&=b_3^{(2)} \\ &\vdots \\ \cdots+a_{nn}^{(2)}x_{n}&=b_n^{(2)} \\ \end{aligned}\right. $$
其中 $a_{ij}^{(2)}=a_{ij}^{(1)}-\frac{a_{i2}^{(1)}}{a_{22}^{(1)}}a_{2j}^{(1)}$。
重复上述过程，最终得到下面的「上三角」形方程组：
$$ \left\{\begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n&=b_1 \\ a_{22}^{(1)}x_2+\cdots+a_{2n}^{(1)}x_{n}&=b_2^{(1)} \\ \cdots+a_{3n}^{(2)}x_{n}&=b_3^{(2)} \\ &\vdots \\ a_{nn}^{(n-1)}x_{n}&=b_n^{(n-1)} \\ \end{aligned}\right. $$
可以很容易地解出（求解顺序 $x_n\to x_{n-1}\to\cdots\to x_{1}$）：
$$ \left\{\begin{aligned} &x_n=\frac{b_n^{(n-1)}}{a_{nn}^{(n-1)}} \\ &x_i=(b_i^{(i-1)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}^{(i-1)}x_j)/a_{ii}^{(i-1)} \end{aligned}\right. $$